Первый, второй и четвертый члены арифметической прогрессии одновременно являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии. Найдите все значения, которые может принимать знаменатель этой прогрессии.

Пусть а₁, (а₁ + d), (а₁ + 2d) и (а₁ + 3d) соответственно первый, второй, третий и четвертый члены арифметической прогрессии.

Тогда по условию b₁ = а₁, b₂ = (а₁ + d) и b₃ = (а₁ + 3d) - первые три члена геометрической прогрессии.

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии b₂² = b₁ * b₃.

(а₁ + d) ² = a₁ (а₁ + 3d);

a₁² + 2a₁d + d² = a₁² + 3a₁d;

a₁d = d²;

a₁ = d.

Получается b₁ = а₁, b₂ = 2 а₁ и b₃ = 4 а₁.

По определению геометрической прогрессии b₂ = b₁q.

q = b₂ / b₁.

Подставив найденные значения вместо b₁ и b₂, найдем q = 2a₁ / a₁ = 2.

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии q равен 2.