1) Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно что пятый, восьмой, одинадцатый члены этой прогрессии различны и являются соответственно первым, вторым, десятым членами арифметической прогрессии. Найдите первый член геометрической прогрессии. 2) В арифметической прогрессии (An) : а1=35.8, а2=35.5. Найдите наибольшее значение суммы первых членов прогрессии. 3) Все члены геометрической прогрессии различны. Между ее вторым и третьим членами можно вставить число z, такое что b1, b2, z, b3 будут являться последовательными членами арифметической прогрессии. найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1. Решение.

S₅ = (b₁ - (1 - q5)) / (1 - q) = 62:

b₅ = b₁ * q⁴ = a₁,

b₈ = b₁ * q⁷ = a₂,

b₁₁ = b₁ * q¹⁰ = a_10,

d = a₂ - a₁ = b₁ * q⁷ - b₁ * q⁴ = b₁ (q⁷ - q⁴),

a₁₀ = a₁ + 9d = b₁ * q⁴ + 9 * (b₁ * (q⁷ - q⁴)),

b₁ * q⁴ + 9b₁ * (q⁷ - q⁴)) = b₁ * q¹⁰,

q¹⁰ - 9q⁷ + 8q⁴ = 0,

q⁴ (q⁶ - 9q³ + 8) = 0, q₁=0,

Пусть q³ = x, тогда имеем x² - 3x + 8 = 0,

X₁_,₂ = (9 ±√ (81 - 32)) / 2 = (9 ± 7) / 2; X₁ = 8, X₂ = 1, q₁ = 2, q₂ = 1

При q равным 0 и 1 члены прогрессии будут равны, что не удовлетворяет условию задачи. Значится q равно 2.

Ответ: 2

2. Решение.

Решение. Если а₁ = 35,8 и а₂=35,5 то,

d = a₂ - a₁ = - 0,3 - разность арифметической прогрессии.

Из формулы n - го члена прогрессии пишем неравенство:

a_n = 35,8 - 0,3 (n-1) >=0.

0,3n-0,3<=35,8.

0,3n<=36,1.

n < = 120,33.

Это значить, что а₁₂₀ = 35.8 - 35.7 = 0.1 - положительный,

а₁₂₁ = 35.8 - 36=-0.2 - отрицательный.

Значит наибольшая сумма это сумма первых 120 членов арифметической прогрессии.

S₁₂₀=120 * (a1 + a120) / 2 = 120 * (35.8 + 0.1) / 2 = 2154.

Ответ: 2154.

3. Решение.

Если соображать логически, то интуитивно видно, что эти числа такие:

b1 = 1; b2 = 2; X = 3; b3 = 4.

Ответ: Геометрическая прогрессия начинается с 1, и имеет знаменатель 2.