1. Определите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен 4, а восьмой член равен 256. 2. Первый член геометрической прогрессии равен 2058, а четвёртый член равен 6. Найдите знаменатель этой прогрессии. 3. Первый член конечной геометрической прогрессии, состоящей из шести членов, равен 768, последний член прогрессии меньше четвёртого в 16 раз. Найдите сумму всех членов прогрессии.

1. Применив формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии b_n = b₁q^{n - 1}, найдем первый член прогрессии.

b₈ = b₁q⁷;

b₁ = b₈ / q⁷ = 256 / (256 * 64) = 1/64.

Ответ: b₁ = 1/64.

2. Выразим четвертый член прогрессии через первый и знаменатель прогрессии:

b₄ = b₁q³;

6 = 2058 * q³;

q³ = 6 / 2058 = 1/343 = (1/7) ³;

q = 1/7.

Ответ: знаменатель прогрессии q = 1/7.

3. Выразим последний шестой член геометрической прогрессии через четвертый:

b₆ = b₅q = b₄q².

По условию 4b₆ = b₄, значит 4b₄q² = b₄.

Найдем значение q:

4q² = 1;

q² = ¼;

q = ½ и q = - ½.

По формуле для нахождения суммы n членов геометрической прогрессии S_n = b₁ (qⁿ - 1) / (q - 1) найдем S₆.

При q = ½:

S₆ = 768 * ((1/2) ⁶ - 1) / (½ - 1) = 768 * (1/64 - 1) / (½ - 1) = 768 * ( - 63/64) * ( - 2) = 1512.

При q = - ½:

S₆ = 768 * (( - 1/2) ⁶ - 1) / ( - ½ - 1) = 768 * (1/64 - 1) / ( - ½ - 1) = 768 * ( - 63/64) * ( - 2/3) = 504.