В первой корзине 2 голубых и 6 красных шаров, во второй - 4 голубых и 2 красных. Из первой корзины наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй корзины наудачу достали один шар. Какова вероятность, что шар голубой? Предположим, что шар, взятый из корзины, оказался голубым. Какова вероятность того, что из первой корзины во вторую были переложены 2 голубых шара?

1) Пусть событие A такое, что шар вынутый из второй корзины голубой.

Примем гипотезы:

H1 - во вторую корзину переложили 2 голубых шара;

H2 - во вторую корзину переложили 1 голубой и 1 красный шар;

H3 - во вторую корзину переложили 2 красных шара.

Вероятности этих гипотез:

Р (H1) = (2/8) · (1/7) = 1/28;

Р (H2) = (2/8) · (6/7) + (6/8) · (2/7) = 3/7;

Р (H3) = (6/8) · (5/7) = 15/28;

Условные вероятности события A при принятых гипотезах:

Р (A|H1) = 6 / (6 + 2) = 3/4;

Р (A|H2) = 5 / (5 + 3) = 5/8;

Р (A|H3) = 4 / (4 + 4) = 1/2.

По формуле полной вероятности находим вероятность события A, такого, что после проведённого опыта был вынут голубой шар:

Р (A) = Р (H1) · Р (A|H1) + Р (H2) · Р (A|H2) + Р (H3) · Р (A|H3) =

= (1/28) · (3/4) + (3/7) · (5/8) + (15/28) · (1/2) = 63/112 = 0,5625.

2) После проведённого опыта вероятность события B такого, что из первой корзины во вторую было переложено 2 голубых шара можно посчитать по формуле Байеса:

P (B) = (Р (H1) · Р (A|H1)) / (Р (H1) · Р (A|H1) + Р (H2) · Р (A|H2) + Р (H3) · Р (A|H3)) = (1/28) · (3/4) / (63/112) = 3/63 = 1/21.

Ответ: 1) 0,5625; 2) 1/21.