Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел равен на 264 больше, чем сума квадратов этих чисел. Найдите эти числа.

Обозначим через х меньшее число из двух данных последовательных натуральных чисел.

Тогда второе, большее число будет равно х + 1.

Из условия задачи известно, что суммы двух данных чисел, возведенная во вторую степени на 264 больше, чем сума квадратов этих двух чисел, следовательно, можем составить следующее уравнение:

(х + х + 1) ^2 = x^2 + (x + 1) ^2 + 264.

Решаем полученное уравнение:

(2 х + 1) ^2 = x^2 + x^2 + 2x + 1 + 264;

4x^2 + 4 х + 1 = 2x^2 + 2 х + 265;

4x^2 + 4 х + 1 - 2x^2 - 2 х - 265 = 0;

2x^2 + 2 х - 264 = 0;

x^2 + х - 132 = 0;

х = (-1 ± √ (1 + 4 * 132)) / 2 = (-1 ± √529) / 2 = (-1 ± 23) / 2.

х1 = (-1 + 23) / 2 = 11;

х2 = (-1 - 23) / 2 = - 12.

Так как искомые числа натуральные, то значение х = - 12 не подходит.

Находим второе число:

х + 1 = 11 + 1 = 12.

Ответ: искомые числа 11 и 12.