Решите уравнение: а) x^6+9x^5+27x^4+27x^3=0 б) 27x^3+54x^2+36x+8=0

а) x^6 + 9x^5 + 27x^4 + 27x^3 = 0 - вынесем за скобку x^3;

x^3 (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) = 0 - в скобке сгруппируем первое слагаемое с четвертым, и второе слагаемое с третьим;

x^3 ((x^3 + 27) + (9x^2 + 27x)) = 0 - первую скобку разложим на множители по формуле суммы кубов a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2); из второй скобки вынесем общий множитель 9x;

x^3 ((x + 3) (x^2 - 3x + 9) + 9x (x + 3)) = 0 - в скобке вынесем за скобку общий множитель (x + 3);

x^3 ((x + 3) (x^2 - 3x + 9) + 9x)) = 0;

x^3 (x + 3) (x^2 - 3x + 9 + 9x) = 0;

x^3 (x + 3) (x^2 + 6x + 9) = 0 - произведение двух множителей равно 0 тогда, когда один из множителей равен 0;

1) x = 0;

2) x + 3 = 0;

x = - 3;

3) x^2 + 6x + 9 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = 6^2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0;

x = - b / (2a);

x = - 6/2 = - 3.

Ответ. 0; - 3.

б) 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 = 0 - сгруппируем первое слагаемое с четвертым и второе слагаемое с третьим;

(27x^3 + 8) + (54x^2 + 36x) = 0 - первую скобку разложим на множители по формуле суммы кубов; из второй скобки вынесем общий множитель 18 х;

(3x + 2) (9x^2 - 6x + 4) + 18x (3x + 2) = 0 - вынесем за скобку общий множитель (3x + 2);

(3x + 2) (9x^2 - 6x + 4 + 18) = 0;

(3x + 2) (9x^2 + 12x + 4) = 0 - приравняем каждый множитель к 0;

1) 3x + 2 = 0;

3x = - 2;

x = - 2/3;

2) 9x^2 + 12x + 4 = 0;

D = 12^2 - 4 * 9 * 4 = 144 - 144 = 0;

x = - 12 / (2 * 9) = - 12/18 = - 2/3.

Ответ. - 2/3.