3. Пусть a + b + c = 5 и ab + bc + ca = 5. Найдите a2 + b2 + c2.

Нам в итоге нужно получить квадраты всех слагаемых: а, b, и с. Возведем левую сторону первого уравнения a + b + c = 5 во вторую степень, а чтобы равенство сохранилось, возведем во вторую степень и правую сторону уравнения:

(a + b + c) ² = 5²;

(a + b + c) * (a + b + c) = 25;

а² + аb + ac + ba + b² + bc + ca + cb + c² = 25;

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 25;

a² + b² + c² + 2 * (ab + bc + ca) = 25;

Значение выражения ab + bc + ca нам известно. Просто подставим его значение в уравнение:

a² + b² + c² + 2 * 5 = 25;

a² + b² + c² + 10 = 25;

a² + b² + c² = 25 - 10;

a² + b² + c² = 15.

ОТВЕТ: значение выражения a² + b² + c² равно 15.