Доказать методом математической индукции что 5^n+1 + 2^3n делится на 3

Рассмотрим выражение:

S (n) = 5^ (n + 1) + 2^ (3 * n).

При n = 0 получаем:

S (0) = 5^ (0 + 1) + 2^ (3 * 0) = 5 + 1 = 6.

Следовательно, при n = 0 имеем S (0) = 6 и делится на 6.

Предположим, что утверждение доказано для любого n < = k.

Рассмотрим

S (k + 1) = 5^ (k + 1 + 1) + 2^ (3 * (k + 1)) =

= 5 * 5^ (k + 1) + 8 * 2^ (3 * k) =

= 5 * (5^ (k + 1) + 2^ (3 * k)) + 3 * 2^ (3 * k) =

= 5 * S (k) + 3 * 2^ (3 * k).

По предположению индукции имеем, что:

S (k) = 3 * p, где p - натуральное число.

Следовательно,

S (k + 1) = 3 * (5 * p + 2^ (3 * k)) и делится на 3, что и требовалось доказать.