Методом математической индукции докажите, что при четном n€ N: 1) 15 в степени n+7*7 в степени n делится на 8 2) 7 в степени n-5 в степени n делится на 24 3) 5 в степени n-3 в степени n делится на 16 3) 5 в степени

Question

Василиса Козлова

Математика

23 декабря, 17:50

Методом математической индукции докажите, что при четном n€ N: 1) 15 в степени n+7*7 в степени n делится на 8 2) 7 в степени n-5 в степени n делится на 24 3) 5 в степени n-3 в степени n делится на 16 3) 5 в степени

+3

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Дмитрий Львов · Answer 1

Методом индукции доказывается сначала при n = 2, n = 2k; n = 2k + 2.

2) 7^ n - 5^n делится на 24. 7^2 * k - 5^ (2 * k); k = 1; 7^2 = 5^2 = 49 - 25 = 24 делится на 24.

7^2 * k - 5^2 * k пусть делится на 24. (1)

Докажем, что 7^ (2 * k + 2) - 5^ (2 * k + 2) (2). Вы чтем (2) - (1), получим: 7^ (2 * k + 2) - 7^2 * k + 5^ (2 * k + 2) - 5^2 * k = 7^2 * k * (7^2 - 1) + 5^2 * k * (5^2 - 1) = 7^2 * k * 48 + 5^2 * k * 24 делится на 24.

3) 5 ^2 * k - 3^2 * k делится на 16.

Так же при n = 2 * k и n = 2 * k + 2 получим при вычитании скобки (5^2 - 1) * 5^2k + (3^2 - 1) * 3^2k = 24 * 5^2k + 8 * 3^2k = 8 * (чётное число) делится на 16.