Найдите наибольшее целое решение неравенства - 3 х^2 + 6 х + 7 ≥ 0

Перепишем данное неравенство в виде 3 * х² - 6 * х - 7 ≤ 0. Анализируя это неравенство, обнаруживаем, что его левая часть представляет собой квадратный трёхчлен. С целью разложения этого трёхчлена на линейные множители, решим квадратное уравнение 3 * х² - 6 * х - 7 = 0. Вычислим дискриминант D этого квадратного уравнения: D = (-6) ² - 4 * 3 * (-7) = 36 + 84 = 120. Поскольку D = 120 > 0, то это квадратное уравнение имеет два корня: х₁ = (6 - √ (120)) / (2 * 3) = 2 * (3 - √ (30)) / 6 = (3 - √ (30)) / 3 и х₂ = (6 + √ (120)) / (2 * 3) = 2 * (3 + √ (30)) / 6 = (3 + √ (30)) / 3. Итак, данное неравенство можно представить в виде (х - (3 - √ (30)) / 3) * (х - (3 + √ (30)) / 3) ≤ 0. Левая часть полученного неравенства представляет собой произведение двух множителей, а правая часть равна 0. Это неравенство выполнится если: А) х - (3 - √ (30)) / 3 ≥ 0 и х - (3 + √ (30)) / 3 ≤ 0 или Б) х - (3 - √ (30)) / 3 ≤ 0 и х - (3 + √ (30)) / 3 ≥ 0. В случае А) имеем (3 - √ (30)) / 3 ≤ х ≤ (3 + √ (30)) / 3. Неравенства случая Б) противоречат друг другу. Таким образом, данное неравенство имеет следующее множество решений [ (3 - √ (30)) / 3; (3 + √ (30)) / 3]. По требованию задания, найдём наибольшее целое решение данного неравенства, которого обозначим через n. Ясно, что искомое число n оставаясь целым числом, должно удовлетворять неравенству n ≤ (3 + √ (30)) / 3 или n ≤ 1 + √ (30) / 3. Поскольку 9 < 30 < 36, то √ (9) < √ (30) < √ (36), то есть 3 < √ (30) < 6. Следовательно, 3/3 < √ (30) / 3 < 6/3 или 1 < √ (30) / 3 < 2, откуда 1 + 1 < 1 + √ (30) / 3 < 1 + 2, то есть 2 < 1 + √ (30) / 3 < 3. Таким образом, n = 2.

Ответ: Наибольшее целое решение неравенства - 3 * х² + 6 * х + 7 ≥ 0 равно 2.