Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3, y=1, x=2.

1. Координаты точек пересечения графиков:

a) параболы и прямой y = 1:

y = 1; x = 1;

b) параболы и прямой x = 2:

x = 2; y = 2^3 = 8;

c) прямой y = 1 и прямой x = 2:

x = 2; y = 1.

2. Следовательно, площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^3 и прямыми x = 2 и y = 2, равна определенному интегралу в пределах от x = 1 до x = 2 от разности функций:

f1 (x) = x^3; f2 (x) = 1; f (x) = f1 (x) - f2 (x) = x^3 - 1.

3. Найдем первообразную функции и вычислим площадь фигуры:

F (x) = ∫f (x) dx; F (x) = ∫ (x^3 - 1) dx; F (x) = 1/4 * x^4 - x; F (1) = 1/4 * 1^4 - 1 = 1/4 - 1 = - 3/4; F (2) = 1/4 * 2^4 - 2 = 1/4 * 16 - 2 = 4 - 2 = 2; S = F (2) - F (1); S = 2 - (-3/4) = 8/4 + 3/4 = 11/4.

Ответ: 11/4.