1. найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x+1, y=-3x+5 и y=02. Материальная точка двигается прямолинейно, ее скорость обозначено формулой v (t) = 3t (в квадрате) - 2t+1 (v измеряется в метрах на секунду, t-в секундах). Найдите путь, пройденныйэтой точкой в момент времени t1=t c к моменту времени t2=3 с3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=5/x, y=5, x=e4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = (3-x) (2+x) и у=2+х

1. Решение.

Получаем криволинейную трапецию, ограниченную прямыми : y = x + 1, y = - 3x + 5 и y = 0.

Найдем границу фигуры, решив х + 1 = - 3 х + 5 ⇒ 4 х = 4 ⇒ х = 1.

Вычислим определенный интеграл

s=S (от 0 до 1) ( - 3 х + 5 - х - 4) dx = S (от 0 до 1) ( - 4 х + 4) dx = - 2x² + 4x = - 2 + 4 = 2.

Ответ: 2 (кв. ед.)

2. Решение. Находим первозданную s (t) = F (v) (от 1 до 3) = t³ - t³ + t = 27 - 9 + 3 - 1 + 1 - 1 = 20.

Ответ: 20 метров.

3. Решение. Получаем криволинейную трапецию, ограниченную линиями y = 5/x, y = 5, x = e.

Находим абсциссу точки пересечения линий y = 5/x с прямой у=5: 5/x = 5 ⇒ x = 1

Вычисляем площадь криволинейной трапеции:

s = S (от 1 до e) (5 - 5/x) dx = 5x - 5lnx = 5e - 5lne - 5 + 5ln1 = 5e - 5 - 5 + 0 = 5 e - 10.

Ответ: (5 e - 10) кв ед.

4. Решение аналогично предидущему примеру:

(3 - x) (2 + x) = 2 + x ⇒ 6+3x-2x-x²-2-x=0 ⇒ x² - 4 = 0 ⇒ x = 2 U x = - 2;

s = S (от - 2 до 2) ( - x² + 4) dx = - x³ / 3 + 4x = - 8 / 3 + 8 - 8 / 3 + 8 = 16 - 16 / 3 = 32 / 3.

Ответ: 32/3 кв ед.