Решить систему: log4 (x^3+y^3) = 2 4log16X + log8Y^3=2 в первом 4 - основание, во втором 16 и 8 - основания)

1. ОДЗ:

{x > 0;

{y > 0.

2. Приведем логарифмы к основанию 2:

{log4 (x^3 + y^3) = 2;

{4log16 (x) + log8 (y^3) = 2; {log2 (x^3 + y^3) / log2 (4) = 2;

{4log2 (x) / log2 (16) + log2 (y^3) / log2 (8) = 2; {log2 (x^3 + y^3) / 2 = 2;

{4log2 (x) / 4 + 3log2 (y) / 3 = 2; {log2 (x^3 + y^3) = 4;

{log2 (x) + log2 (y) = 2; {x^3 + y^3 = 2^4;

{log2 (xy) = 2; {x^3 + y^3 = 16;

{xy = 2^2.

3. Сумма кубов:

{ (x + y) ^3 - 3xy (x + y) = 16;

{xy = 4; { (x + y) ^3 - 12 (x + y) = 16;

{xy = 4.

4. Обозначим:

x + y = u; u^3 - 12u - 16 = 0; u^3 - 4u^2 + 4u^2 - 16u + 4u - 16 = 0; u^2 (u - 4) + 4u (u - 4) + 4 (u - 4) = 0; (u - 4) (u^2 + 4u + 4) = 0; (u - 4) (u + 2) ^2 = 0; u1 = - 2; u2 = 4.

5. Вернемся к системе:

{x + y = u;

{xy = 4.

x и y - корни уравнения:

t^2 - ut + 4 = 0;

1) u = - 2;

t^2 + 2t + 4 = 0; D/4 = 1 - 4 < 0 - нет корней;

2) u = 4;

t^2 - 4t + 4 = 0; (t - 2) ^2 = 0; t1 = t2 = 2. x = y = 2.

Ответ: (2; 2).