Докажите, что x^2+y^2+8x-10y+42 больше 0

Для того, чтобы доказать, что неравенство x^2 + y^2 + 8x - 10y + 42 > 0 верно при любом значении переменных мы начнем с того, что вспомним две формулы сокращенного умножения:

1. Квадрат суммы:

(a + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2;

2. Квадрат разности:

(a - b) ^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Давайте выделим в левой части неравенства эти две формулы сокращенного умножения:

x^2 + 8x + 4^2 + y^2 - 10y + 5^2 + 1 > 0;

(x^2 + 2 * x * 4 + 4^2) + (y^2 - 2 * y * 5 + 5^2) + 1 > 0;

(x + 4) ^2 + (y - 5) ^2 + 1 > 0;

Что и требовалось доказать.