В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Хорда, длина которой 10, удалена от центра окружности на расстояние 4. Найдите длину другой хорды, если известно, что точка пернсечения хорд удалена от центра на расстояние5

Обозначим данные хорды через AB и CD, точку их пересечения через P и центр окружности через О.

Пусть |CD| = 10 и |OP| = 5.

Рассмотрим треугольник OCD. Так как СD - хорда, то

OC = OD, т. е. треугольник OCD - равнобедренный.

Опустим из вершины О высоту ОM на основание CD. Очевидно, что:

CM = DM = 1/2 * CD = 1/2 * 10 = 5.

Тогда, по условию задачи имеем, что OM = 4.

Из прямоугольно треугольника OCM по теореме Пифагора получим:

OC^2 = CM^2 + OM^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41,

OC = √41.

Рассмотрим треугольник OAB. Опустим высоту ON на основание АВ.

Очевидно, что АВ = 2 * AN = 2 * BN.

Рассмотрим треугольник ONP. Имеем:

OP^2 = ON^2 + NP^2 = ON^2 + OM^2,

ON^2 = OP^2 - OM^2 = 5^2 - 4^2 = 9, ON = 3.

Следовательно,

BN^2 = OB^2 - ON^2 = OC^2 - ON^2 = 41 - 9 = 32,

BN = √32 = 4 * √2.

Значит:

АВ = 2 * BN = 8 * √2.