Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды. Найдите их длины, если они удалены от центра окружности на 2 см и 5 см.

Пусть АВ и АС - две хорды, АВ перпендикулярна АС. Проведем из центра окружности О перпендикуляр ОН к хорде АВ и перпендикуляр ОЕ к хорде АС. ОЕ и ОН будут являться расстоянием от центра окружности до хорд. Пусть ОН = 5 см, а ОЕ = 2 см.

Рассмотрим четырехугольник АЕОН: АН перпендикулярно АЕ (так как АВ перпендикулярна АС), ОН перпендикулярна АВ и ОЕ перпендикулярна АС, значит, АЕОН - прямоугольник.

Следовательно, ОН = АЕ = 5 см, ОЕ = АН = 2 см.

Рассмотрим треугольник АОВ: ОА = ОВ (радиусы), треугольник АОВ равнобедренный, значит, ОН не только высота, но и медиана:

АВ = АН * 2 = 2 * 2 = 4 (см).

Аналогично, АС = АЕ * 2 = 5 * 2 = 10 (см).

Ответ: длины хорд равны 4 см и 10 см.