При каких значениях переменной произведение (2x-3) (4-x) (x+8) неотрицательно?

1. Решаем нестрогое неравенство:

(2x - 3) (4 - x) (x + 8) ≥ 0.

Умножим на - 1 и изменим знак одного из множителей и знак неравенства:

(2x - 3) (x - 4) (x + 8) ≤ 0. (1)

2. Находим корни множителей:

1) x + 8 = 0;

x1 = - 8;

2) 2x - 3 = 0;

2x = 3;

x2 = 3/2;

3) x - 4 = 0;

x3 = 4.

3. Из четырех промежутков, образованных разбиением координатной прямой корнями x1, x2 и x3, неравенству (1) удовлетворяют два:

x ∈ (-∞; - 8] ∪ [3/2; 4).

Ответ: (-∞; - 8] ∪ [3/2; 4).