Гусеница в полдень выползла из своего домика и ползет по лугу, поворачивая после каждого часа направо или налево на 90 градусов. За первый час она проползла 1 м, а за каждый следующий - на 2 м больше, чем за предыдущий. На каком наименьшем расстоянии от домика она может оказаться в 7 часов вечера?

1. От полдня до семи часов вечера - 7 полных часов. Пусть si - расстояние, пройденное за i-й час. Тогда:

s1 = 1; s2 = 3; s3 = 5; s4 = 7; s5 = 9; s6 = 11; s7 = 13.

2. Предположим, первоначальная скорость была направлена по оси абсцисс. Тогда за нечетные часы движение будет направлено по этой оси, а за четные - по оси ординат:

1) |x1| = 1; |x2| = 5; |x3| = 9; |x4| = 13; 2) |y1| = 3; |y2| = 7; |y3| = 11.

3. Наименьшее расстояние от оси ординат равно:

|x|min = (1 + 13) - (5 + 9) = 14 - 14 = 0.

Наименьшее расстояние от оси абсцисс:

|y|min = 11 - (3 + 7) = 11 - 10 = 1.

А наименьшее расстояние от начала координат:

smin = √ ((|x|min|) ^2 + (|y|min|) ^2) = √ (0^2 + 1^2) = √ (0 + 1) = √1 = 1 (м).

Ответ: 1 м.