Найти производные: y=x^ (1/x) y=x^lnx x-y+arctgy=0

Найдем производные функций: y = x ^ (1/x), y = x ^ lnx, x - y + arctg y = 0;

Для того, чтобы найти производные функций, используем формулу производной:

(x ^ u) ' = u * x ^ (u - 1) * u ';

(x + y) ' = x ' + y ';

(x - y) ' = x ' - y ';

(1/x) ' = - 1/x ^ 2;

(ln x) ' = 1/x;

То есть получаем:

1) y ' = (x ^ (1/x)) ' = 1/x * x ^ (1/x - 1) * (1/x) ' = 1/x * x ^ (1/x - 1) * ( - 1/x ^ 2) = - 1/x ^ 3 * x ^ (1/x - 1);

2) y ' = (x ^ ln x) ' = ln x * x ^ (ln x - 1) * 1/x = (ln x) / x * x ^ (ln x - 1);

3) x - y + arctg y = 0;

x ' - y + arctg y = 0;

1 - y + arctg y = 0.