Найти полные дифференциалы следующих функций: z=arctgy/x+arctgx/y

1. Производная tgx:

(tgx) ' = (sinx/cosx) ' = ((sinx) ' * cosx - sinx * (cosx) ') / cos^2x = (cos^2x + sin^2x) / cos^2x = 1/cos^2x.

2. Производная arctgx:

cos^2y + sin^2y = 1; 1 + tg^2y = 1/cos^2y; cos^2y = 1 / (1 + tg^2y); y = arctgx; x = tgy; dx = (tgy) 'dy = 1/cos^2y * dy; dy/dx = cos^2y = 1 / (1 + tg^2y) = 1 / (1 + x^2); (arctgx) ' = 1 / (1 + x^2).

3. Исходя из этой формулы, вычислим полный дифференциал заданной функции:

z = arctgy/x + arctgx/y; ∂z/∂x = - arctgy/x^2 + 1/y (1 + x^2); ∂z/∂y = - arctgx/y^2 + 1/x (1 + y^2); dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy; dz = (1/y (1 + x^2) - arctgy/x^2) dx + (1/x (1 + y^2) - arctgx/y^2) dy.

Ответ: dz = (1/y (1 + x^2) - arctgy/x^2) dx + (1/x (1 + y^2) - arctgx/y^2) dy.