У деда и внука дни рождения попадают на один и тот же день. В один из дней рождения возраст деда (в годах) превосходил возраст внука в целое число раз. На следующий год повторилось то же самое. И так целых шесть лет подряд. Используя эти данные, можете ли вы определить, сколько было деду и внуку на шестой день рождения?

1. Пусть в первый год внуку было x лет, а деду - y лет. Тогда, по условию задачи, можем составить сравнения:

y ≡ 0 (mod x); y + 1 ≡ 0 (mod x + 1); y + 2 ≡ 0 (mod x + 2); y + 3 ≡ 0 (mod x + 3); y + 4 ≡ 0 (mod x + 4); y + 5 ≡ 0 (mod x + 5).

2. Преобразуем сравнения:

y - x ≡ 0 (mod x); y - x ≡ 0 (mod x + 1); y - x ≡ 0 (mod x + 2); y - x ≡ 0 (mod x + 3); y - x ≡ 0 (mod x + 4); y - x ≡ 0 (mod x + 5).

3. Из полученных сравнений следует, что y - x делится на 6 последовательных чисел, т. е. кратно их НОК.

4. Для x = 1 получим:

1) y - 1 = НОК (1, 2, 3, 4, 5, 6) = 60;

y = 60 + 1 = 61. x + 5 = 6; y + 5 = 66.

2) y - 1 = 120;

y = 120 + 1 = 121 (не реальный возраст).

5. Для x = 2 получим:

y - 1 = НОК (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420; y = 421 (дед слишком стар).

Ответ. В шестой год: внуку 6 лет, деду 66 лет.