Найдите площадь ромба, если сумма его диагоналей 14 см, а периметр 20 см

Дано: Ромб, у которого сумма диагоналей равна 14 см, а периметр равен 20 см. Требуется найти площадь ромба. Поскольку периметр ромба равен 20 см, то если а (в сантиметрах) длина стороны, то имеем 4 * а = 20 см. Следовательно, а = (20 см) : 4 = 5 см. Обозначим через d₁ и d₁ (в сантиметрах) диагонали ромба. Поскольку сумма диагоналей ромба равна 14 см, то имеем: d₁ + d₂ = 14 см. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам в точке пересечения. Тем самым, диагонали ромба делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, где половины диагоналей являются катетами, а сторона ромба является гипотенузой. Следовательно, по теореме Пифагора, (d₁ / 2) ² + (d₂ / 2) ² = 5². Последнее равенство позволяет переписать его в виде (d₁) ² + (d₂) ² = 100. Возводя обе части равенства d₁ + d₂ = 14 в квадрат, получим (d₁) ² + (d₂) ² + 2 * d₁ * d₂ = 196. Тогда 2 * d₁ * d₂ = 196 - 100 = 96, откуда d₁ * d₂ = 48. По теореме Виета, d₁ и d₂ являются корнями квадратного уравнения х² - 14 * х + 48. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-14) ² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (14 - √ (4)) / 2 = (14 - 2) / 2 = 12/2 = 6 и x₂ = (14 + √ (4)) / 2 = (14 + 2) / 2 = 16/2 = 8. Итак, диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Тогда площадь ромба равна ½ * (8 см) * (6 см) = 24 см².

Ответ: 24 см².