2sin^2 x-5sinx*cosx+3cos^2 x=o

Решим данное тригонометрическое уравнение 2 * sin²x - 5 * sinx * cosx + 3 * cos²x = 0, хотя об этом явного требования в задании нет. Предположим, что cos²x ≠ 0 и разделим обе части данного уравнения на cos²x. Тогда, используя формулу tgα = sinα / cosα, можно переписать данное уравнение в виде: 2 * tg²х - 5 * tgх + 3 = 0. Введём новую переменную у = tgх. Тогда получим следующее квадратное уравнение: 2 * у² - 5 * у + 3 = 0. Это квадратное уравнение имеет два различных корня, так как его дискриминант D = (-5) ² - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1 > 0. Вычислим их: у₁ = (5 - √ (1)) / (2 * 2) = (5 - 1) / 4 = 1 и у₂ = (5 + √ (1)) / (2 * 2) = (5 + 1) / 4 = 3/2. Исследуем каждый корень по отдельности. А) При у = 1, имеем tgх = 1. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х = π/4 + 2 * π * m, где m - целое число и х = π/4 + 2 * π * n, где n - целое число. Б) При у = 3/2, имеем tgх = 3/2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующее решение: х = arctg (3/2) + π * k, где k - целое число.

Ответ: х = π/4 + 2 * π * m; х = π/4 + 2 * π * n и х = arctg (3/2) + π * k, где m, n и k - целые числа.