Решите уравнение (введите подходящую замену) : а) (х²-х-1) ²-10 (х²-х-1) + 9=0 б) (х²-4 х+3) ²+6 (х²-4 х+6) - 34=0

Question

Гость

Математика

30 мая, 07:36

Решите уравнение (введите подходящую замену) : а) (х²-х-1) ²-10 (х²-х-1) + 9=0 б) (х²-4 х+3) ²+6 (х²-4 х+6) - 34=0

+1

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Алина Богданова · Answer 1

а) Выполним замену и преобразуем в квадратное уравнение:

(х² - х - 1) ² - 10 (х² - х - 1) + 9 = 0;

х² - х - 1 = y;

y² - 10y + 9 = 0;

Найдем y решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 10) ² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = (10 - √64) / 2 * 1 = (10 - 8) / 2 = 2 / 2 = 1;

y2 = ( - b + √D) / 2a = (10 + √64) / 2 * 1 = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9;

Подставим корни уравнения:

х² - х - 1 = y;

1) Если у = 1, то:

х² - х - 1 = 1;

х² - х - 2 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 1) ² - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √9) / 2 * 1 = (1 - 3) / 2 = - 2 / 2 = - 1;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (1 + √9) / 2 * 1 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2;

2) Если у = 9, то:

х² - х - 1 = 9;

х² - х - 10 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 1) ² - 4 * 1 * ( - 10) = 1 + 40 = 41;

D › 0, значит:

х3 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √41) / 2 * 1 = (1 - √41) / 2;

х4 = ( - b + √D) / 2a = (1 + √41) / 2 * 1 = (1 + √41) / 2;

Ответ: х1 = - 1, х2 = 2, х3 = (1 - √41) / 2, х4 = (1 + √41) / 2.

б) Выполним замену и преобразуем в квадратное уравнение:

(х² - 4 х + 3) ² + 6 (х² - 4 х + 6) - 34 = 0;

(х² - 4 х + 3) ² + 6 (х² - 4 х + 3 + 3) - 34 = 0;

х² - 4 х + 3 = у;

y² + 6 (y + 3) - 34 = 0;

y² + 6y + 18 - 34 = 0;

y² + 6y - 16 = 0;

Найдем y решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * ( - 16) = 36 - 64 = 100;

D › 0, значит:

y1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 6 - √100) / 2 * 1 = ( - 6 - 10) / 2 = - 16 / 2 = - 8;

y2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 6 + √100) / 2 * 1 = ( - 6 + 10) / 2 = 4 / 2 = 2;

Подставим корни уравнения:

х² - 4 х + 3 = у;

1) Если у = - 8, то:

х² - 4 х + 3 = - 8;

х² - 4 х + 11 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * 11 = 16 - 44 = - 28;

D < 0, значит корней нет:

2) Если у = 2, то:

х² - 4 х + 3 = 2;

х² - 4 х + 1 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 4) ² - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (4 - √12) / 2 * 1 = (1 - √4 * 3) / 2 = (1 - 2√3) / 2 = 1/2 - √3;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (4 + √12) / 2 * 1 = (1 + √4 * 3) / 2 = (1 + 2√3) / 2 = 1/2 + √3;

Ответ: х1 = 1/2 - √3, х2 = 1/2 + √3.