Решите ур-е введя подходящую замену (2-x^2) ^4-10 (2-x^2) ^2=-9

(2 - x^2) ^4 - 10 (2 - x^2) ^2 = - 9.

Введем новую переменную: пусть (2 - x^2) ^2 = а.

Получается уравнение а^2 - 10a = - 9; a^2 - 10a + 9 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 10; c = 9;

D = b^2 - 4ac; D = (-10) ^2 - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64 (√D = 8);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (10 - 8) / 2 = 2/2 = 1;

а₂ = (10 + 8) / 2 = 18/2 = 9.

Возвращаемся к замене (2 - x^2) ^2 = а:

1) (2 - x^2) ^2 = 1;

раскрываем скобки по формуле квадрата разности:

4 - 4x^2 + x^4 = 1;

x^4 - 4x^2 + 3 = 0.

Получилось биквадратное уравнение. Пусть x^2 = с.

с^2 - 4c + 3 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 4; х₁ * х₂ = 3.

Корни равны: с = 1 и с = 3.

Так как x^2 = с, то x^2 = 1; х = 1; х = - 1.

И x^2 = 3; х = √3; х = - √3.

2) (2 - x^2) ^2 = 9;

4 - 4x^2 + x^4 = 9;

x^4 - 4x^2 - 5 = 0.

Получилось биквадратное уравнение, пусть x^2 = р.

Получается уравнение р^2 - 4 р - 5 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 4; х₁ * х₂ = - 5.

Корни равны р = - 1 и р = 5.

Так как x^2 = р, то x^2 = (-1) не может быть, квадрат числа всегда положительный.

И x^2 = 5; х = √5; х = - √5.

Ответ: корни уравнения 1, - 1, √3, - √3, √5 и - √5.