Какими должны быть размеры прямоугольника с периметром 100 метров, чтобы его диагональ была наименьшей?

Как известно, если у прямоугольника известны длины сторон (например, a и b), то его периметр Р можно вычислить используя формулу Р = 2 * (a + b). Согласно условиям задания, 2 * (a + b) = 100 или a + b = 50. Выразим b через а. Имеем b = 50 - а. Из геометрического смысла переменных a и b следует, что справедливы неравенства 0 < a < 50 и 0 < b < 50. Если провести любую диагональ прямоугольника (из двух возможных), то она будет делить прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, причем диагональ прямоугольника будет являться гипотенузой, а стороны прямоугольника - катетами любого из этих двух прямоугольных треугольников. Обозначим диагональ прямоугольника (гипотенузу прямоугольного треугольника) через d. По теореме Пифагора, справедливо d² = а² + b² или d = √ (а² + b²). Используя последнее равенство предыдущего пункта, получим d = √ (а² + (50 - а) ²) = √ (2 * а² - 100 * а + 2500). Последний результат предыдущего пункта перепишем в виде d (а) = √ (2 * а² - 100 * а + 2500) и переменную d рассмотрим как функцию от переменной а, где 0 < a < 50. По требованию задания, найдём такое значение переменной а, чтобы функция d (а) принимала наименьшее значение. С этой целью вычислим производную d' (а) = ½ * (2 * а² - 100 * а + 2500) ^{½ - 1} * (2 * а² - 100 * а + 2500) ' = (1 / (2 * √ (2 * а² - 100 * а + 2500))) * (2 * 2 * a - 100) = (2 * a - 50) / (√ (2 * а² - 100 * а + 2500)). Приравнивая производную к нулю, определим стационарные точки функции d (а). Решим уравнение (2 * a - 50) / (√ (2 * а² - 100 * а + 2500)) = 0. Поскольку для любого а, справедливо 2 * а² - 100 * а + 2500 = 2 * (а² - 50 * а + 625) + 1250 = 2 * (а - 25) ² + 1250 ≥ 1250 > 0, то √ (2 * а² - 100 * а + 2500) > 0. Поэтому, вместо составленного уравнения можно решать уравнение 2 * a - 50 = 0. Очевидно, 2 * а = 50, откуда а = 50 : 2 = 25. Рассмотрим два интервала (0; 25) и (25; 50). Очевидно, что d' (а) 0, при а ∈ (25; 50). Это означает, что при а = 25, функция d (а) принимает минимальное значение, равное d (а) = √ (2 * 25² - 100 * 25 + 2500) = 25√ (2). Тогда b = 50 - 25 = 25. Таким образом, диагональ прямоугольника будет наименьшей, если его стороны равны между собой, то есть, он является квадратом со стороной, равной 25.

Ответ: 25 на 25.