Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a^13*b^31=6^2015

a^13 * b^31 = 6^2015. (1)

1. В правой части уравнения (1) имеем число:

6^2015 = (2 * 3) ^2015 = 2^2015 * 3^2015,

которое содержит только два простых множителя: 2 и 3.

Из этого следует, что числа a и b также должны содержать только эти два множителя, следовательно, их можем представить в виде:

a = 2^m * 3^n; b = 2^k * 3^l.

2. Подставим значения a и b в уравнение (1):

(2^m * 3^n) ^13 * (2^k * 3^l) ^31 = 6^2015;

2^ (13m + 31k) * 3^ (13n + 31l) = 2^2015 * 3^2015;

{13m + 31k = 2015;

{13n + 31l = 2015.

{13m + 31k = 5 * 13 * 31;

{13n + 31l = 5 * 13 * 31.

3. Для обоих уравнений подойдет, например, одно и то же решение:

m = n = 62; k = l = 39; a = 2^m * 3^n = 2^62 * 3^62; b = 2^k * 3^l = 2^39 * 3^39.

4. Проверим:

a^13 * b^31 = (2^62 * 3^62) ^13 * (2^39 * 3^39) ^31 = 2^806 * 3^806 * 2^1209 * 3^1209 = 2^2015 * 3^2015 = 6^2015.

Ответ:

a = 2^62 * 3^62;

b = 2^39 * 3^39.