Докажите что не существует наибольшего натурального числа которое при деление на семь дает остаток 3

Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, А - наибольшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт остаток 3. Тогда это число можно записать в виде:

А = 7 * к + 3, где к - целое число.

По предположению, не существует числа больше, чем А, которое при делении на 7 даёт остаток 3.

Рассмотрим число А + 7. Очевидно, что А + 7 > А и

А + 7 = 7 * к + 3 + 7 = 7 * (к + 1) + 3, а значит даёт остаток 3 при делении на 7. Получили противоречие, что и требовалось доказать.