Остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел a и b равен 5.

По условию задачи, остаток при делении натурального числа a на 8 равен 3, следовательно, число а можно представить в виде а = 8k + 3, где k - некоторое целое число.

Также известно, что остаток при делении натурального числа b на 8 равен 3, следовательно, число b можно представить в виде b = 8n + 7, где n - некоторое целое число.

Найдем, чему равное произведение чисел а и b:

a * b = (8k + 3) * (8n + 7) = 64kn + 56k + 24 n + 21 = 64kn + 56k + 24 n + 16 + 5 = 8 * (8kn + 7k + 3 n + 2) + 5.

Из полученного выражения следует, что остаток от деления произведения чисел a и b на 8 равен 5.