Могите решить задачу: Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.

Eсли натуральное число m при делении на 11 дает в остатке 9, то его можно записать:

m = 11 * k + 9, где к - натуральное число.

Eсли натуральное число n при делении на 11 дает в остатке 5, то его можно записать:

n = 11 * p + 5, где p - натуральное число.

Рассмотрим произведение m * n и сделаем подстановки:

m * n = (11 * k + 9) * (11 * p + 5) =

= 11^2 * k * p + 11 * 5 * k + 11 * 9 * p + 9 * 5 =

= 11^2 * k * p + 11 * 5 * k + 11 * 9 * p + 44 + 1 =

= 11 * (11 * k * p + 5 * k + 9 * p + 4) + 1.

Указанное представление доказывает, что m * n при делении на 11 дает в остатке 1.