Найдите все простые числа, которые нельзя записать в виде суммы двух составных и докажите что других нет

Для начала вспомним, что такое простые и составные числа.

Определения простых и составных чисел

Простые числа - натуральные числа, которые имеют ровно два делителя: число 1 и самого себя.

Составные числа - все непростые числа, которые имеют больше двух делителей.

Число 1 не является ни простым, ни составным.

Приведем несколько первых простых чисел:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37 и др.

Таким образом, простыми бывают только нечетные числа (кроме числа 2).

Чтобы понять, какие простые числа нельзя записать в виде суммы двух составных чисел, рассмотрим каждое простое число по порядку.

2 можно записать в виде 1 + 1, но 1 не является составным. 3 можно записать только в виде 2 + 1. 2 - простое число, 1 не является составным числом. 5 = 4 + 1 - также нельзя представить в виде суммы составных чисел. 7 = 2 + 5; 3 + 4 - 3 является простым числом. 11 = 2 + 9; 3 + 8; 4 + 7; 5 + 6. 13 = 4 + 9; 6 + 7; 8 + 5; 9 + 4. Итак, число 13 можно записать в виде суммы 2 составных чисел 9 и 4. 17 = 9 + 8; 19 = 9 + 10; 23 = 9 + 14 и т. д.

Далее все простые числа можно записать как сумму 9 и другого составного числа.

Итак, нельзя записать в виде суммы простые числа 2, 3, 7, 9.

Доказательство

Итак, мы выяснили, что простыми могут быть только нечетные числа (кроме 2), а также то, что все простые числа, большие 11, можно расписать как сумму составного числа 9 и другого составного числа.

Простое число является нечетным, 9 - также нечетным. Отсюда следует, что их разность - всегда четное число. Например:

23 - 9 = 14 - четное число.

Любое четное число, кроме единицы и самого себя, имеет как минимум еще один делитель - число 2. Поэтому любое четное число является не простым, а составным.

Поэтому любое просто число, большее 11, можно записать как сумму 9 и четного числа.

Докажем, что любое простое число p, большее 11, представляется в виде суммы двух составных; Очевидно, что любое простое число, большее двух, нечетно; Тогда представим простое число р в виде p = (p - 9) + 9; p - нечетное, (p - 9) - четное и, значит, составное; Это верно при p > 11, так как при p ≤ 7, (p - 9) 11 в виде суммы двух составных; А все простые числа, меньшие или равные 11 (2, 3, 5, 7,11), нельзя представить в виде суммы двух составных; Ответ: 2, 3, 5, 7, 11 - нельзя записать в виде суммы двух составных;