Решить уравнение: а) |2 х-3|=х-1 б) |х-4|-|8-2 х|=4 х в) х2-7|х|-8=0 г) |х^2+4 х|≤х+28

а) |2 х - 3| = х - 1. Получается два уравнения: (1) 2 х - 3 = х - 1 и (2) 2 х - 3 = - (х - 1).

1) 2 х - 3 = х - 1;

2 х - х = 3 - 1; х = 2.

2) 2 х - 3 = - х + 1;

2 х + х = 3 + 1;

3 х = 4; х = 4/3 = 1 1/3.

б) |х - 4| - |8 - 2 х| = 4 х.

Определим значения, где модули меняют знак:

х - 4 = 0; х = 4.

8 - 2 х = 0; - 2 х = - 8; х = - 8 / (-2) = 4.

Оба модуля меняют знак в числе 4.

Раскрываем модуль в соответствии с промежутком.

x < 0: раскрываем модули со знаком (-).

(4 - х) - (2 х - 8) = 4 х;

4 - х - 2 х + 8 - 4 х = 0;

-7 х + 12 = 0;

-7 х = - 12;

х = 12/7 = 1 5/7 (сторонний корень).

х > 0: раскрываем модули со знаком (+).

(х - 4) - (8 - 2 х) = 4 х;

х - 4 - 8 + 2 х - 4 х = 0;

-х - 12 = 0;

-х = 12;

х = - 12 (сторонний корень).

в) х^2 - 7|х| - 8 = 0.

х < 0: раскрываем модуль со знаком (-).

х^2 + 7 х - 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 7; c = - 8;

D = b^2 - 4ac; D = 49 + 32 = 81 (√D = 9);

x = (-b ± √D) / 2a;

х₁ = (-7 + 9) / 2 = 1 (сторонний корень);

х₂ = (-7 - 9) / 2 = - 8.

х > 0: раскрываем модуль со знаком (+).

х^2 - 7 х - 8 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 49 + 32 = 81 (√D = 9);

х₁ = (7 + 9) / 2 = 8;

х₂ = (7 - 9) / 2 = - 1 (сторонний корень).

г) |х^2 + 4 х| ≤ х + 28. Получается два неравенства: (1) х^2 + 4 х ≤ х + 28 и (2) х^2 + 4 х > = - (х + 28).

1) х^2 + 4 х ≤ х + 28;

х^2 + 4 х - х - 28 ≤ 0;

х^2 + 3 х - 28 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 + 3 х - 28, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0;

х^2 + 3 х - 28 = 0.

D = 9 + 112 = 121 (√D = 11);

х₁ = (-3 + 11) / 2 = 4;

х₂ = (-3 - 11) / 2 = - 7.

Отмечаем на числовой прямой точки - 7 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-7; 4).

2) х^2 + 4 х > = - х - 28;

х^2 + 4 х + х + 28 > = 0;

х^2 + 5 х + 28 > = 0;

Рассмотрим функцию у = х^2 + 5 х + 28, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0;

х^2 + 5 х + 28 = 0.

D = 25 - 112 = - 87 (нет корней). То есть нет точек пересечения с осью х, вся парабола находится выше оси х (ветви вверх). Так как знак неравенства > = 0, то решение неравенства (-∞; + ∞).