Найдите наименьшее натуральное число, начинающееся в десятичной записи с пятёрки, которое уменьшается в четыре раза, если эту пятёрку стереть из начала его десятичной записи и дописать в её конец.

Решение

Искомое число представим в виде 5x, где x - некое n-значное число. Выражение 5x не означает умножение, но число в десятичной записи:

5x = 5 * 10^n + x.

Если пятерку стереть из начала десятичной записи этого числа и дописать в ее конец, то получим число:

x5 = 10*x + 5.

Составление уравнения

По условию задачи, после перестановки число уменьшается в четыре раза:

5x = 4 * x5.

Выполнив простые преобразования, получим:

5 * 10^n + x = 4 * (10*x + 5); 5 * 10^n + x = 40*x + 20; 39*x = 5 * 10^n - 20.

Необходимо найти наименьшее значение n, при котором уравнение имеет натуральное решение.

1) n = 1;

39*x = 5 * 10^1 - 20;

39*x = 30;

x = 30/39 (не натуральное).

2) n = 2;

39*x = 5 * 10^2 - 20;

39*x = 480;

x = 480/39 (не натуральное).

3) n = 3;

39*x = 5 * 10^3 - 20;

39*x = 4980;

x = 4980/39 (не натуральное).

4) n = 4;

39*x = 5 * 10^4 - 20;

39*x = 49980;

x = 49980/39 (не натуральное).

5) n = 5;

39*x = 5 * 10^5 - 20;

39*x = 499980;

x = 499980/39 = 12820 (натуральное число).

Важно также отметить, что число 12820 действительно пятизначное, т. е. соответствует значению n=5.

Таким образом, первоначальное число 5x = 512820, а после перестановки: x5 = 128205. Убедимся, что число уменьшилось в 4 раза:

512820 = 4 * 128205;

Ответ: 512820.

Найдем наименьшее натуральное число, которое начинается в десятичной записи с пятёрки и уменьшается в четыре раза, если эту пятёрку стереть из начала его десятичной записи и дописать в её конец:

первой стояла 5, значит при делении на 4 получаем 1, значит следующая цифра 1;

51 / 4 = 12;

512 / 4 = 128;

5128 / 4 = 1282;

51282 / 4 = 12820;

512820 / 4 = 128205 - нашли искомое число.

Ответ: наименьшее натуральное число, которое начинается с пятерки и уменьшается в 4 раза при переносе 5 в конец: 512820.