Найти наименьшее натуральное число, начинающееся в десятичной записи с пятёрки, которое уменьшается в четыре раза, если эту пятёрку стереть из начала его десятичной записи и дописать в её конец.

Пусть n число цифр в искомом числе.

Тогда искомое число можно представить в виде суммы:

5 * 10^ (n - 1) + a, где а - число, полученное их искомого числа путем стирания первой цифры, n - число цифр в искомом числе.

Так как искомое число уменьшается в четыре раза после переноса пятерки с первой позиции слева на первую позицию справа, то:

5 * 10^ (n - 1) + a = (10 а + 5) * 4;

5 * 10^ (n - 1) + a = 40 а + 20;

39 а = 5 * 10^ (n - 1) - 20;

а = (5 * 10^ (n - 1) - 20) / 39.

Так как это должно быть наименьшее число, то мы будем предполагать, что в числе 2, 3, 4, 5 и т. д. цифр и производить вычисление, чтобы найти то наименьшее n, при котором остаток будет нулевым:

(5 * 10^ (2 - 1) - 20) / 39 = (50 - 20) / 39 = 0 ост (30);

(5 * 10^ (3 - 1) - 20) / 39 = (500 - 20) / 39 = 12 ост (12);

(5 * 10^ (4 - 1) - 20) / 39 = (5000 - 20) / 39 = 127 ост (27);

(5 * 10^ (5 - 1) - 20) / 39 = (50000 - 20) / 39 = 1281 ост (21);

(5 * 10^ (6 - 1) - 20) / 39 = (500000 - 20) / 39 = 12820.

Следовательно, исходное число 512820.

Ответ: 512820.

Для решения данной задачи нам необходимо:

выяснить, что значит на математическом языке стереть цифру 5, которой начинается десятичная запись некоторого числа; выяснить, что значит на математическом языке дописать цифру 5 в конец десятичной записи некоторого числа; составить соотношение, которое позволит находить числа, удовлетворяющие условию задачи; используя составленное соотношение, найти наименьшее число, удовлетворяющие условию задачи.

Решение задачи.

Определяем, что значит на математическом языке стереть цифру 5, которой начинается десятичная запись числа

Рассмотрим несколько примеров.

Если в двузначном числе 53 стереть первую цифру 5, то получится число 3, которое можно получить вычитанием числа 50 = 5 * 10¹ из исходного числа 53.

Если в пятизначном числе 54563 стереть первую цифру 5, то получится число 4563, которое можно получить вычитанием числа 5000 = 5 * 10⁴ из исходного числа 54563.

Следовательно, стереть цифру 5, которой начинается десятичная запись некоторого k-значного числа равносильно вычитанию из этого числа 5 * 10^k-1.

Определяем, что значит на математическом языке дописать цифру 5 в конец десятичной записи некоторого числа

Рассмотрим несколько примеров.

Если к числу 3 дописать цифру 5, то получится число 35, которое можно получить умножением исходного числа 3 на 10 и добавлением к полученному результату числа 5.

Если к числу 4563 дописать цифру 5, то получится число 45635, которое можно получить умножением исходного числа 4563 на 10 и добавлением к полученному результату числа 5.

Следовательно, дописать цифру 5 в конец десятичной записи некоторого числа равносильно умножению этого числа на 10 и прибавлению к полученному результату числа 5.

Составляем соотношение, которое позволит находить числа, удовлетворяющие условию задачи

Обозначим искомое k-значное число через х.

Согласно условию задачи, стереть из начала десятичной записи данного числа цифру 5 и дописать в её конец, то данное число уменьшится в 4 раза.

Если стереть из начала десятичной записи данного числа цифру 5, то получится число х - 5 * 10^k-1.

Если к полученному числу приписать справа цифру 5, то получится число 10 * (х - 5 * 10^k-1) + 5.

Следовательно, можем составить следующее уравнение:

х = 4 * (10 * (х - 5 * 10^k-1) + 5).

Упрощая полученное соотношение, получаем:

х = 40 * (х - 5 * 10^k-1) + 20;

х = 40 х - 200 * 10^k-1 + 20;

х = 40 х - 20 * 10 * 10^k-1 + 20;

х = 40 х - 20 * 10^k + 20;

40 х - х = 20 * 10^k - 20;

39 х = 20 * 10^k - 20;

х = (20 * 10^k - 20) / 39;

х = 20 * (10^k - 1) / 39.

Перебирая значения k, начиная от 2, находим наименьшее целое число х, удовлетворяющее данному соотношению.

Поскольку число 20 не делится на 39, будем искать наименьшее значение k, при котором число 10^k - 1 будет кратно 39.

При k = 2 получаем 10² - 1 = 100 - 1 = 99.

Данное значение k не подходит, поскольку число 99 не делится на 39.

При k = 3 получаем 10³ - 1 = 1000 - 1 = 999.

Данное значение k не подходит, поскольку число 999 не делится на 39.

При k = 4 получаем 10⁴ - 1 = 10000 - 1 = 9999.

Данное значение k не подходит, поскольку число 9999 не делится на 39.

При k = 5 получаем 10⁵ - 1 = 100000 - 1 = 99999.

Данное значение k не подходит, поскольку число 99999 не делится на 39.

При k = 6 получаем 10⁶ - 1 = 1000000 - 1 = 999999.

Данное значение k подходит, поскольку число 999999 делится на 39:

999999 / 39 = 25641.

Зная k, находим х:

х = 20 * (10⁶ - 1) / 39 = 20 * 25641 = 512820.

Ответ: искомое число 512280