2cos^2 * 2x + cos2x + cos6x = 1

2cos^2 (2x) + cos (2x) + cos (6x) = 1.

Произведем замену, пусть 2 х = а.

2cos^2 а + cosа + cos3 а = 1.

Используем формулу косинуса тройного угла: cos (3α) = 4cos^3 (α) - 3cos (α).

2cos^2 а + cosа + 4cos^3 а - 3cosа - 1 = 0.

4cos^3 а + 2cos^2 а - 2cosа - 1 = 0.

Произведем еще одну замену, пусть cosа = t.

4t^3 + 2t^2 - 2t - 1 = 0.

Разложим многочлен на множители методом группировки:

2t^2 (2t + 1) - 1 (2t - 1) = 0.

(2t^2 - 1) (2t - 1) = 0.

Отсюда 2t^2 - 1 = 0; 2t^2 = 1; t^2 = 1/2; t = 1/√2 = √2/2 и t = - 1/√2 = - √2/2.

Или 2t - 1 = 0; 2t = 1; t = 1/2.

Вернемся к замене cosа = t.

1) t = √2/2.

cosа = √2/2; а = ±arccos (√2/2) + 2 Пn, n - целое число.

2) t = - √2/2.

cosа = - √2/2; а = ±arccos (-√2/2) + 2 Пn, n - целое число.

3) t = 1/2.

cosа = 1/2; а = 2 П/3 + 2 Пn, n - целое число.

И а = - 2 П/3 + 2 Пn, n - целое число.

Вернемся к замене 2 х = а.

1) а = ±arccos (√2/2) + 2 Пn;

2 х = ±arccos (√2/2) + 2 Пn;

х = ±arccos (√2/2) / 2 + Пn, n - целое число.

2) а = ±arccos (-√2/2) + 2 Пn;

2 х = ±arccos (-√2/2) + 2 Пn;

х = ±arccos (-√2/2) / 2 + Пn, n - целое число.

3) а = 2 П/3 + 2 Пn;

2 х = 2 П/3 + 2 Пn;

х = П/3 + Пn, n - целое число.

4) а = - 2 П/3 + 2 Пn;

2 х = - 2 П/3 + 2 Пn;

х = - П/3 + Пn, n - целое число.