1) 2cos (в квадрате) x+7cos2x=5 2) sin (x+30 градусов) + cos (x+60 градусов) = 1+cos2x 3) cosx*cos2x*cos*4x*cos8x=1/16 4) cos (в квадрате) x+cos (в квадрате) 2x=cos (в квадрате) 3x+cos (в квадрате) 4x

1) 2 cos ² x + 7 cos 2 x = 5.

Разложим косинус по формуле косинус двойного угла. Единицу представим как сумму квадратов синуса и косинуса:

2 cos ² x + 7 (cos ² x - sin ² x) = 5 (cos ² x + sin ² x);

4 cos ² x = 12sin ² x;

Разделим обе части уравнения на cos ² x:

tg ² x = 1/3;

tg x = 1/√3;

x = pi/6 + pi k.

2) sin (x + 30º) + cos (x + 60º) = 1 + cos 2 x.

Преобразуем косинус в синус:

cos (x + 60º) = cos ((x - 30º) + 90º) =

cos (x - 30º) cos 90º - sin (x - 30º) sin90º = - sin (x - 30º).

Подставим полученное выражение в исходное. Преобразуем правую часть по формуле косинус двойного угла, единицу представим как сумму квадратов синуса и косинуса:

sin (x + 30º) - sin (x - 30º) = cos ² x + sin ² x + cos ² x - sin ² x;

2 sin 30º cos x = 2 cos ² x; sin 30º = 1/2;

cos x (1 - 2 cos x) = 0;

a) cos x = 0; x = pi/2 + pi k;

b) cos x = 1/2; x = ± pi/3 + pi k.

3) 16 cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x = 1.

Преобразуем с использованием формулы синус удвоенного угла:

(2 sin cos x) (8 cos 2 x cos 4 x cos 8 x) / sin x = 1;

sin 2 x (8 cos 2 x cos 4 x cos 8 x) / sin x = 1;

2 sin 2 x cos 2 x (4 cos 4 x cos 8 x) / sin x = 1;

sin 4 x (4 cos 4 x cos 8 x) / sin x = 1;

2 sin 4 x cos 4 x (2 cos 8 x) / sin x = 1;

2 sin 8 x cos 8 x / sin x = 1;

sin 16 x / sin x = 1;

sin 16 x - sin x = 0.

применим формулу разность синусов:

sin 16 x - sin x = 2 sin 15/2 x cos 17/2 x = 0.

a) sin 15/2 x = 0; 15/2 x = pi k;

x = 2/15 pi k;

b) cos 17/2 x = 0; 17/2 x = pi/2 + pi k;

x = pi/17 + pi/17 k.

4) cos ² x + cos ² 2 x = cos ² 3 x + cos ² 4 x.

cos ² x - cos ² 3 x = cos ² 4 x - cos ² 2 x.

Разложим обе части уравнения по формуле разности квадратов:

(cos x + cos 3 x) (cos x - cos 3 x) = (cos 4 x + cos 2 x) (cos 4 x - cos 2 x).

Применим к выражениям в скобках формулы сумма, разность косинусов:

(2 cos 2 x cos x) ( - 2 sin 2 x sin x) = (2 cos 3 x cos x) ( - 2 sin 3 x sin x).

(2 cos 2 x cos x) ( - 2 sin 2 x sin x) = (2 cos 3 x cos x) ( - 2 sin 3 x sin x).

Перенесём правую част в левую и вынесем за скобки общие множители:

(2cos x sin x) ((2 cos 2 x sin 2 x) - (2 cos 3 x sin 3 x)) = 0.

В скобках получились формулы синуса удвоения угла.

sin 2 x (sin 4 x - sin 6 x) = 0.

Применим к выражению в скобках формулу разность синусов:

sin 2 x ( - 2 sin x * cos 5 x) = 0.

a) sin 2 x = 0; 2 x = pi k;

x = pi/2 k;

b) sin x = 0;

x = pi k;

c) cos 5 x = 0; 5 x = pi/2 + pi k;

x = pi/10 + pi/5 k.

Решение a) включает в себя и решение b). Окончательно:

x₁ = pi/2 k;

x₂ = pi/10 + pi/5 k.