1. Найти последнее число цифры 137 в 100 степени. 2. Найти остаток при делении числа 1998 в 2030 степени на 7.

1. Составим сравнения по модулю 10 для степеней числа 137:

137^1 ≡ 7 (mod 10); 137^2 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10); 137^4 ≡ 81 ≡ 1 (mod 10); (137^4) ^25 ≡ 1^25 (mod 10); 137^100 ≡ 1 (mod 10). (1)

Сравнение (1) означает, что последняя цифра 137^100 - единица.

2. Составим сравнения по модулю 7 для степеней числа 1998:

1998^1 ≡ 1998 ≡ 7 * 285 + 3 ≡ 3 (mod 7); 1998^2 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7); 1998^6 ≡ 2^3 ≡ 1 (mod 7); (1998^6) ^338 ≡ 1^338 (mod 7); 1998^2028 * 1998^2 ≡ 1 * 2 (mod 7); 1998^2030 ≡ 2 (mod 7).

Остаток 1998^2030 при делении на 7 равен 2.

Ответ: 1) 1; 2) 2.