Решите уравнение (1/3) ^x+3^ (x+3) = 12

Решим показательное уравнение при помощи ввода новой переменной.

Сначала преобразуем выражение:

(1/3) ^x + 3^ (x + 3) = 12;

1 / (3^x) + 3^x * 3^3 = 12;

1 / (3^x) + 3^x * 27 - 12 = 0.

Введем новую переменную: пусть 3^x = а.

Получилось уравнение: 1/а + 27 а - 12 = 0.

Приведем все к общему знаменателю:

(1 + 27 а^2 - 12 а) / а = 0.

Дробь тогда равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

ОДЗ: а не равно 0.

27 а^2 - 12 а + 1 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 27; b = - 12; c = 1;

D = b^2 - 4ac; D = (-12) ^2 - 4 * 27 * 1 = 144 - 108 = 36 (√D = 6);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (12 - 6) / (2 * 27) = 6/54 = 1/9.

а₂ = (12 + 6) / 54 18/54 = 1/3.

Возвращаемся к замене 3^x = а.

3^x = 1/9; 3^x = 1 / (3^2); 3^x = 3^ (-2); х = - 2.

3^x = 1/3; 3^x = 3^ (-1); х = - 1.

Ответ: корни уравнения равны - 1 и - 2.