Доказать, что n - любое число 5+6+7 ... + (n+4) = n (n+9) / 2

Выпишем данный в задаче ряд и под ним тот же ряд, но в обратном порядке:

S = 5 + 6 + 7 + ... + (n + 2) + (n + 3) + (n+4)

S = (n + 4) + (n + 3) + (n + 2) + ... + 7 + 6 + 5.

Заметим, что сумма пары чисел с верхнего ряда и соответствующего числа с нижнего ряда равны для любого n:

5 + (n + 4) = n + 9,

6 + (n + 3) = n + 9 и т. д.

Таких пар будет (n + 4) - 5 + 1 = n. Тогда сложим оба ряда:

2 * S = (n + 9) * n, S = n * (n + 9) / 2, что и требовалось доказать.