На выполнение некоторой работы первый плотник потратит на 6 дней больше, чем второй плотник, и на 8 дней больше, чем третий. Первый и второй плотники вместе выполнят эту работу за то же время, что и третий плотник, работая один. За сколько дней выполнит эту работу первый плотник?

Пусть первый плотник потратит на работу, работая в одиночку, x дней. Тогда, согласно условиям задачи, второй плотник выполнит эту работу за (x - 6) дней, а третий (x - 8) дней.

Третий плотник, работая в одиночку, выполняет эту работу за то же время, что и первый со вторым плотником, работая вместе:

1 / (x-8) = 1 / (x-6) - 1/x;

Обе части умножаем на x * (x-6) * (x-8), беря в уме, что x= / = 0, x= / = 6, x = / = 8.

x * (x - 6) - x * (x - 8) - (x - 8) * (x - 6) = 0;

x^2 - 6 * x - x^2 + 8 * x - x^2 + 14 * x - 48 = 0;

- x^2 + 16 * x - 48 = 0;

x^2 - 16 * x + 48 = 0;

Находим корни уравнения: x = 12 и x = 4.

Корень уравнения x = 4 не может являться решением задачи, потому что второй третий плотник будут работать отрицательное количество дней, что невозможно.

Ответ: 12 дней.