1. √4x=-1 2. Найдите точки экстремума f (x) = x^3 1nx 3. Упростите выражение cos2 П/7+cos4 П/7+cos6 П/7

Задание №1

√4 * x = - 1

2 * х = - 1

х = - 1 / 2

Ответ: - 1 / 2.

Задание №2

Для того, чтобы найти точки экстремума функции f (x) = x^3 * lnx для начала необходимо найти ее производную.

Зная, что (f * g) ' = f' * g + f * g', найдем производную функции:

f' (x) = (x^3) ' * lnx + x^3 * (lnx) ' = 3 * x^2 * ln x + x^3 * 1 / x = 3 * x^2 * ln x + x^2 = x^2 * (3 * ln x + 1)

После того, как найдена производная функции необходимо найти ее критические точки - точки, в которых производная не существует или равна нулю.

f' (x) = x^2 * (3 * ln x + 1)

x^2 * (3 * ln x + 1) = 0

Так как произведение в данном уравнении равно 0, то для его решения необходимо каждую часть приравнять к нулю и решить отдельно новые уравнения.

Решим первое уравнение:

x^2 = 0

1) x = 0

Решим второе уравнение:

3 * ln x + 1 = 0

3 * ln x = - 1

ln x = - 1 / 3

Зная, что lnx = log_ex, преобразуем левую часть уравнения:

log_e x = - 1 / 3

х = е ^ (-1 / 3)

x = 1 / е ^ (1 / 3)

Зная, что е = 2.71828, найдем точное значение х.

2) x = 1 / е ^ (1 / 3) = 1 / 2.71828 ^ (1 / 3) = 1 / 1.3956 = 0.7165

Ответ: точки экстремума х1 = 0, х2 = 0.7165 (приблизительно) или х2 = 1 / е ^ (1 / 3).

Задание №3

2 П - является периодом для функции косинуса, поэтому cos2 П = cos4 П = сos6 П = сos8 П и т. д., соответственно и cos2 П/7 = cos4 П/7 = cos6 П/7. Зная про данное свойство упростим выражение:

Ответ: cos2 П/7+cos4 П/7+cos6 П/7 = 3 * cos2 П/7