1/sin A-sin 3A - 1/sin 3 A-sin5A, если А=п/12

1. Воспользуемся формулой преобразования разности в произведение тригонометрических функций:

1 / (sinа - sin3 а) - 1 / (sin3 а - sin5 а);

sinа - sin3 а = 2 сos ((а + 3 а) / 2) * sin ((а - 3 а) / 2) = 2 сos ((4 а) / 2) * sin (( - 2 а) / 2) = 2 сos2 а * sin ( - а) = - 2 сos2 а * sin (а);

sin3 а - sin5 а = 2 сos ((3 а + 5 а) / 2) * sin ((3 а - 5 а) / 2) = 2 сos ((8 а) / 2) * sin (( - 2 а) / 2) = 2 сos4 а * sin ( - а) = - 2 сos4 а * sinа;

2. Подставим полученные значения:

1 / (sinа - sin3 а) - 1 / (sin3 а - sin5 а) = 1 / ( - 2 сos2 а * sinа) - 1 / ( - 2 сos2 а * sinа) = - 1 / (2 сos2 а * sinа) + 1 / (2 сos4 а * sinа);

3. Приведем к общему знаменателю 2 сos2 а * сos4 а * sinа:

- 1 / (2 сos2 а * sinа) + 1 / (2 сos4 а * sinа) = (сos4 а - сos2 а) / 2 сos2 а * сos4 а * sinа;

4. Вычислим значение, если а = п/12;

(сos (4 * п/12) - сos (2 * п/12)) / 2 сos (2 * п/12) * сos (4 * п/12) * sin (п/12) = (1/2 - √3/2) / (2 * √3/2 * sin (п/12)) = (1 - √3) / √3sin (п/12).