Найдите интервал возрастания функции f (x) = 2x/1+x^2. В ответ запишите длину этого интервала.

f (x) = 2x / (1 + x^2) - исследуем функцию с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к 0.

f' (x) = (2x / (1 + x^2)) ' - применим формулу (u/v) ' = (u'v - uv') / v^2, где u = 2x, v = 1 + x^2;

f' (x) = ((2x) ' * (1 + x^2) - 2x * (1 + x^2) ') / (1 + x^2) ^2 = (2 (1 + x^2) - 2x * 2x) / (1 + x^2) ^2 = (2 + 2x^2 - 4x^2) / (1 + x^2) ^2 = (2 - 2x^2) / (1 + x^2) ^2;

(2 - 2x^2) / (1 + x^2) ^2 = 0 - дробь равна 0 тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0;

1) 2 - 2x^2 = 0;

- 2x^2 = - 2;

2x^2 = 2;

x^2 = 2/2;

x^2 = 1;

x1 = 1;

x2 = - 1.

2) 1 + x^2 ≠ 0

Отметим числа - 1 и 1 на числовой прямой. Эти числа делят прямую на три промежутка: 1) ( - ∞; - 1), 2) ( - 1; 1), 3) (1; + ∞). Проверим знак производной в каждом промежутке. На 1 и 3 промежутках производная отрицательна, а на втором промежутке - положительна. Функция возрастает на том промежутке, где производная положительна, а это промежуток ( - 1; 1), его длина равна | - 1| + |1| = 1 + 1 = 2.

Ответ. 2.