На листе бумаги нарисована прямоугольная система координат. Лист согнули так, что точки с координатами (4; 3) и (1; 6) совпали. Найдите абсциссу точки, с которой совпала точка (2015; 2015) ?

Для нахождения абсциссы требуемой точки нужно выполнить определить:

уравнение прямой 1, проходящей через точки А (4; 3) и В (1; 6); середину отрезка АВ точку С; уравнение прямой 2, проходящей через точку С, перпендикулярной прямой 1; уравнение прямой 3, проходящей через точку К, перпендикулярной прямой 2; координаты точки О - точки пересечения прямых 2 и 3; координаты точки М, симметричной точке К относительно О. Прямая 1 и точка С на ней

Уравнение прямой, проходящей через две точки:

(х - х1) / (х2 - х1) = (у - у1) / (у2 - у1);

(х - 4) / (1 - 4) = (у - 3) / (6 - 3);

откуда, уравнение прямой 1: у = - х + 7.

Координаты точки С определяются как среднее арифметическое соответствующих координат концов отрезка:

хС = (хА + хВ) / 2 = (4 + 1) / 2 = 2,5;

аналогично уС = (3 + 6) / 2 = 4,5.

Точка С (2,5; 4,5).

Прямая 2

Прямые перпендикулярны, если произведение их коэффициентов при аргументе равно - 1.

То есть у = х + р, где р - свободный член.

Прямая 2 проходит через точку С, значит:

4,5 = 2,5 + р и р = 2.

Уравнение прямой 2: у = х + 2.

Прямая 3 и точка О с точкой М на ней

Аналогично предыдущим рассуждениям прямая 2 у = - х + q проходит через точку К;

2015 = - 2015 + q;

q = 4030.

Уравнение прямой 3: у = - х + 4030.

Система уравнений состоит из уравнений прямой 2 и прямой 3:

у = х + 2;

у = - х + 4030.

Сумма двух уравнения:

2 у = 4032.

у = 2016;

х = у - 2 = 2016 - 2 = 2014.

Точка О (2014; 2016).

Абсцисса М симметрична абсциссе хК = 2015 относительно хО = 2014 и равна хМ = 2013.

Ответ: хМ = 2013.