Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения (n-1) (n+1) - (n-7) (n-5) кратно 12 У нас тема многочлены

1. Пусть:

f (n) = (n - 1) (n + 1); g (n) = (n - 7) (n - 5).

Докажем, что разность двух функций кратна 12 при натуральных значениях n.

2. Преобразуем каждую функцию, раскрыв скобки и приведя подобные члены:

1) f (n) = (n - 1) (n + 1) = n^2 - 1.

Было использована формула:

a^2 - b^2 = (a + b) (a - b).

2) g (n) = (n - 7) (n - 5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35.

3. Находим разность функций:

h (n) = f (n) - g (n); h (n) = (n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35) = n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35 = 12n - 36; h (n) = 12 (n - 3).

Что и требовалось.