Найдите наибольшее значение выражения 2a (b-a) + (2-b) (2+b). При каких a и b оно достигается?

1. Для удобства преобразований обозначим выражение Z:

Z = 2a (b - a) + (2 - b) (2 + b).

2. Раскроем скобки, умножив многочлены:

Z = 2ab - 2a^2 + 4 - b^2.

3. Выделим квадрат двучлена:

Z = - a^2 + 2ab - b^2 - a^2 + 4;

Z = - (a^2 - 2ab + b^2) - a^2 + 4;

Z = - (a - b) ^2 - a^2 + 4.

4. Выражение достигнет наибольшего значения, если квадраты равны нулю:

{ (a - b) ^2 = 0;

{a^2 = 0;

{a - b = 0;

{a = 0;

{b = 0;

{a = 0.

Наибольшее значение:

Z (max) = 0 + 0 + 4 = 4.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 4, которое достигается при a = 0 и b = 0.