Докажите, что 9^100-9^99+9^98-9^97 делится на 41.

Данное арифметическое выражение обозначим через А = 9¹⁰⁰ - 9⁹⁹ + 9⁹⁸ - 9⁹⁷. Используя свойство степеней, имеем: 9¹⁰⁰ = 9^{3 + 97} = 9³ * 9⁹⁷ = 729 * 9⁹⁷, 9⁹⁹ = 9^{2 + 97} = 9² * 9⁹⁷ = 81 * 9⁹⁷ и 9⁹⁸ = 9^{1 + 97} = 9 * 9⁹⁷. Следовательно, А = 729 * 9⁹⁷ - 81 * 9⁹⁷ + 9 * 9⁹⁷ - 9⁹⁷. Применяя так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, вынесем за скобки множитель 9⁹⁷. Тогда имеем А = (729 - 81 + 9 - 1) * 9⁹⁷ = 656 * 9⁹⁷. Используя признаки делимости и справочник первых простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41), разложим число 656 на простые множители. Имеем 656 = 2 * 2 * 2 * 2 * 41 = 2⁴ * 41. Окончательно, получим: А = 41 * 2⁴ * 9⁹⁷. Делимость этого произведения на 41 очевидна. Что и требовалось доказать.