В двузначном числе сумма квадратов цифр равна 41. Если в этом числе переставить цифры, то новое число на 9 единиц больше данного. Найдите данное число.

Можно сразу догадаться, вспомнив квадраты первых чисел 1, 4, 9, 16, 25, что это будут цифры 5 и 4.

Решение через неизвестные.

Обозначим число десятков буквой D, число единиц буквой Е.

Тогда справедливы записи:

D^2 + E^2 = 41 (1);

10E + D - (10D + E) = 9;

10E + D - 10D - E = 9;

9E - 9D = 9;

E - D = 1;

E = 1 + D (2);

Подставляем (2) в (1):

D^2 + (1+D) ^2 = 41;

D^2 + 1 + 2D + D^2 = 41;

2D^2 + 2D - 40 = 0;

D^2 + D - 20 = 0;

Для решения используем формулу Виета:

D = (-1 + корень (1 + 80)) / 2 = (-1 + 9) / 2 = 4 (3)

Второй корень отбрасываем, так как число должно быть положительным.

Подставляем значение D в (3):

E = 5;

Ответ: 45.

Проверка: 54 - 45 = 9 и 5^2 + 4^2 = 41.