Отрезок АВ и СD пересекаются в точке О так, что АО = ВО и СО = DO. Докажите, что АВСД-параллелограмм.

Через пересекающиеся отрезки всегда можно провести плоскость. Следовательно пересекающиеся отрезки АВ и СD лежат в одной плоскости и фигура, образуемая с их помощью также лежит в плоскости. Точкой пересечения является точка О, при этом О делит отрезки пополам. Следовательно относительно точки О точка А симметрична точке В, а точка С симметрична точке D, так как каждая пара точек лежит на прямой (через любой отрезок можно провести прямую) и АО = ОВ, а СО = ОD. Соответственно и отрезки, образованные этими точками будут симметричны относительно точки О, АС симметричен ВD, АD симметричен СВ. Из свойств симметрии известно, что длины симметричных отрезков равны. К тому же проведенные через эти отрезки прямые будут симметричны относительно точки и будут параллельны. Значит и симметричные относительно точки О отрезки параллельны.

Таким образом мы имеем четырехугольник АСВD, у которого стороны попарно равны и параллельны, а диагонали при пересечении делят друг друга пополам. Это соответствует единственной фигуре - параллелограмму.

Доказательство могло строиться и на равенстве образуемых при пересечении отрезков треугольников.

Напоследок обратим внимание, что ACBD - параллелограмм, а фигура ABCD напоминает песочные часы и параллелограммом не является.