Доказать, что при любом значении a верно неравенство (a-2) (a^2+a+4) больше a^3

Проведем преобразования правой части неравенства:

L = (a - 2) * (a^2 + a + 4) = a^3 + a^2 + 4 * a - 2 * a^2 - 2 * a - 8 =

= a^3 - a^2 + 2 * a - 8 = a^3 - (a^2 - 2 * a + 8) =

= a^3 - (a^2 - 2 * a + 1 + 7) =

= a^3 - ((a - 1) ^2 + 7).

Заметим, что (a - 1) ^2 > = 0 при любом значении a. Следовательно,

(a - 1) ^2 + 7 > 0,

- ((a - 1) ^2 + 7) < 0,

a^3 - ((a - 1) ^2 + 7) < a^3.

Мы получили, что

L = (a - 2) * (a^2 + a + 4) < a^3, что и требовалось доказать.